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行内公式
这是一个行内公式示例：$E=mc^2$，爱因斯坦的质能方程。
另一个行内公式：当 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 时，二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解。
块级公式
$$ \frac{\partial}{\partial t} \int_\Omega \rho \, d\Omega + \int_{\partial\Omega} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0 $$几何与三角公式
三角函数恒等式
$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$$$ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $$向量运算
点积公式：
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $$叉积公式（三维空间）：
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$微积分公式
导数基本公式
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$$$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$$$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$积分公式
基本积分公式：
$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$分部积分法：
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$多元微积分
梯度：
$$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $$散度：
$$ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$旋度：
$$ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$线性代数公式
矩阵运算
矩阵乘法：
$$ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} $$逆矩阵公式（2×2）：
$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$行列式
2×2矩阵行列式：
$$ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$3×3矩阵行列式：
$$ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $$特征值与特征向量
特征方程：
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$其中 $\lambda$ 是特征值，满足：
$$ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} $$数论与级数
级数求和
等差数列求和：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] $$等比数列求和：
$$ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) $$无穷级数：
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$重要常数
欧拉公式：
$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$特殊情形（欧拉恒等式）：
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$概率统计公式
基本概率公式
条件概率：
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$贝叶斯定理：
$$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$统计分布
正态分布：
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$二项分布：
$$ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$泊松分布：
$$ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$统计量
平均值：
$$ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i $$方差：
$$ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$标准差：
$$ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2} $$物理学公式
力学
牛顿第二定律：
$$ \mathbf{F} = m\mathbf{a} $$万有引力定律：
$$ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} $$动能公式：
$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$势能公式（重力）：
$$ E_p = mgh $$电磁学
库仑定律：
$$ F = k\frac{q_1 q_2}{r^2} $$欧姆定律：
$$ V = IR $$电场强度：
$$ E = \frac{F}{q} $$热力学
理想气体状态方程：
$$ PV = nRT $$热力学第一定律：
$$ \Delta U = Q - W $$复杂数学表达式
分段函数
绝对值函数：
$$ f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases} $$符号函数：
$$ \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \text{if } x < 0 \\ 0 & \text{if } x = 0 \\ 1 & \text{if } x > 0 \end{cases} $$极限与连续性
极限定义：
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$洛必达法则：
$$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$微分方程
一阶线性微分方程：
$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$解为：
$$ y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right) $$简谐运动方程：
$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$解为：
$$ x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) $$工程数学公式
傅里叶级数
周期函数展开：
$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n\cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) + b_n\sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \right] $$系数公式：
$$ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t)\cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt $$$$ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t)\sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) dt $$拉普拉斯变换
定义：
$$ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt $$常用变换：
$$ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} $$$$ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $$$$ \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} $$大型公式测试
多行公式对齐
二项式定理：
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$其中：
$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$泰勒展开：
$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots $$或者：
$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$积分变换
傅里叶变换：
$$ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx $$逆变换：
$$ f(x) = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} d\xi $$公式编号测试
重要的欧拉恒等式：
$$ e^{i\pi} + 1 = 0 \tag{1} $$勾股定理：
$$ a^2 + b^2 = c^2 \tag{2} $$其中 $c$ 是直角三角形的斜边长，$a$ 和 $b$ 是直角边长。
结论
以上测试涵盖了：
- ✅ 行内公式渲染
- ✅ 块级公式渲染
- ✅ 几何与三角公式
- ✅ 微积分公式
- ✅ 线性代数公式
- ✅ 概率统计公式
- ✅ 物理学公式
- ✅ 复杂数学表达式
- ✅ 工程数学公式
- ✅ 多行公式对齐
- ✅ 公式编号
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